Welche Fläche hat es?
Auf was für Kurven bewegen sich der Mittelpunkt bzw. der jeweils oberste Punkt, wenn es (z.B. ein Körper mit ihm als Querschnitt) über eine Ebene rollt?
Schneiden Sie ein solches Dreieck aus nicht zu dünnem Karton aus und in seine Mitte eines kleines Loch, sowie einen quadratischen Rahmen, in den es genau passt. Wie wandert der Mittelpunkt, wenn sich das Dreieck in dem Quadrat dreht?
Gibt es das auch mit mehr als 3 Ecken?
Einsendeschluss ist der 31. Mai 2008.
Lösungen an die E-Mail-Adresse: dasmatheproblem@gmail.com
1 koment:
Lösung 13. Problem:
Am Besten bastelst Du Dir vorher ein Modell.
Dieses Bogen-Dreieck wird von drei gleichen Kreisbögen begrenzt, deren Schnittpunkte wechselseitig die Mittelpunkte sind.
Welche Fläche hat es?
Als Grundlänge kann man den Radius r der Kreisbögen nehmen. Die Figur besteht aus drei sich überlappenden Kreissektoren mit dem Zentriwinkel 60°. Sie überdecken ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge r. Somit berechnet sich die Fläche aus den drei Kreissektoren abzüglich zweier gleichseitiger Dreiecke (ca 0.705 r^2).
Auf was für Kurven bewegen sich der Mittelpunkt bzw. der jeweils oberste Punkt, wenn es (z.B. ein Körper mit ihm als Querschnitt) über eine Ebene rollt?
Das Bogen-Dreieck ist immer gleich hoch. Der höchste Punkt liegt immer eine Radienlänge über der Ebene. Dieses Bogen-Dreieck heisst auch Reuleaux-Dreieck. Allgemein wird solche Figure auch Gleichdick genannt. Das einfachste Gleichdick ist der Kreis (Mehr Informationen findest Du in Wikipedia unter „Gleichdick“ oder „Reuleaux-Dreieck“.)
Stell Dir vor, das Bogen-Dreieck rollt jeweils auf einem seiner Bögen auf einer Linie ab. Während dieses Abrollens liegt der dazugehörige Mittelpunkt immer genau senkrecht darüber, und zwar im Abstand r der Kreisradien. Die Linie hat hier nämlich die Funktion einer Tangenten an den Kreisbogen und der Radius steht senkrecht dazu. Nach dieser ersten Phase des Abrollens steht das Bogen-Dreieck auf einem Punkt, nämlich dem Endpunkt des einen Bogens, welcher auch Anfangspunkt des nächsten Bogens ist. Um zum Abrollen des nächsten Bogens zu kommen, muss die Figur zuerst über diesen Punkt gedreht werden, und zwar um 120°. Wieder bleibt der Abstand zum darüber liegenden Punkt konstant und entspricht den Kreisradien (Mittelpunkt – Kreisbogenpunkt).
Der Mittelpunkt unseres Bogen-Dreiecks bewegt sich abwechslungsweise auf zwei Kurven, auf sogenannten Zykoliden. Diese entstehen, wenn man einen Kreis abrollt und dabei die Spur eines Punktes im, auf oder ausserhalb des Kreises verfolgt.
(Tipp: André Mössners Homepage: http://www.macfunktion.ch/mathe/reuleaux.html)
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